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ラゲール陪多項式の直交性


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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 .3 .4 .5 .6 | 投稿日時 2014/3/4 4:03
CarotStamp  新米   投稿数: 1
ご無沙汰しています。CarotStampです。

村上雅人著『なるほど量子力学II』を勉強していて解らないことがあったので、質問させて下さい。

ラゲール陪多項式L[k,n]に関する直交性
∫:0→∞:L[k,n](x) L[k,m] x^k exp(-x) dx = ((n!)^3/ (n-k)!) δn,m
のn=mのとき(n!)^3/ (n-k)!の導出に関して

テキストによると、

Σ:n=0→∞:(t^(n-k) s^(n-k))/(n!)^2 ∫:0→∞:|L[k,n](x)|^2 x^k exp(-x) dx
= k! Σ:r=0→k+1:((k+1)!/(k+1-r))t^r s^r
この式が恒等的に成り立つためには
(1)r=n-k
(2)k+1=n
でなければならない。よって右辺は
k! Σ:r=0→k+1:((k+1)!/(k+1-r))t^r s^r = k! Σ:n-k=0→n:(n!/(n-k)!k!) t^(n-k) s^(n-k)
= Σ:n-k=0→n:(n!/(n-k)!) t^(n-k) s^(n-k) 式1
Σ:n=0→∞:(t^(n-k) s^(n-k))/(n!)^2 ∫:0→∞:|L[k,n](x)|^2 x^k exp(-x) dx
= Σ:n-k=0→n:(n!/(n-k)!) t^(n-k) s^(n-k) 式2
となり
∫:0→∞:|L[k,n](x)|^2 x^k exp(-x) dx = ((n!)^3/ (n-k)!) 式3
と与えられる

とありますが、
「(2)k+1=n」 となる導出 と
「式2 から 式3」の導出 の2点が解りませんので教えて下さい。 
投票数:1 平均点:10.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/3/4 23:29
like-mj  一人前   投稿数: 767
CarotStampさん、お久しぶりです

勉学に励まれているようで
お疲れさまです
1つお聞きできればうれしいのですが
何でラゲール陪多項式という難しい
水素原子の波動方程式のようなモノの
解に登場する特殊関数を計算されたい
のでしょうか

数学的な興味であるなら
そういう関数に作用する群の構造と
その形との関係とかの方が面白い気もしますし
また、物理的興味であるなら
他の現象で、この難しい関数が
どういった場面に出て来るとかって話しの
方向性もあると思いますが...

直交性の検算をなさりたい理由を
もしお教え頂け、充分納得できるモノなら
参戦するのに、ヤブサカではありません
投票数:0 平均点:0.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/3/5 8:03
CarotStamp 
Like-meさん、CarotStampです。

「直交性の検算をしたい」のは、「大学の物理」を極めたいからです。
「大学の物理」を極めるためには、力学・電磁気学・量子力学等の複数の教科書にトライすることが必要であると気づきました。
今回ラゲール陪多項式に関して詳しく書かれた『なるほど量子力学II』にたどり着きました。この教科書では、他の教科書では取り上げない、ラゲール陪多項式を始め、エルミート、ルジャンドル等の直交多項式が詳しく取り上げられています。
ここで、ラゲール陪多項式の検算を避けて通っては、「大学の物理」を極めたことにはなりません。

当初は、場の量子論を理解したい、と思い量子力学のテキストを1冊終えたら「場の量子論」に進むつもりでしたが、「場の量子論」の複数の教科書を開いても、自分には理解出来ないように思えました。
それなら、勉強する範囲を「大学の物理」に限り、「大学の物理」を極めることを考えようと思いました。
もし「大学の物理」を極めることができれば、「場の量子論」の扉も自ずと開けるでしょう。。。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/3/7 1:00
like-mj  一人前   投稿数: 767
CarotStampさんにも
おちょくられてしまいましたね

オレの様にサン...like meサンってね
でも、私は...like-mjですからね
よろしくお見知り置き下さいね

あまりマジメにお答えになられるので
言いにくいのですが...
私なんかは、そもそもの始まりが
この世に現存する本当の不思議に
触れたいダケの気持ちなんですね

中学生の頃には
Einstein著の『相対論の意味』と
清家新一著の『超相対性理論』を
同じハートで受け止めていたのですから^^;;
清家さんの本は
空飛ぶ円盤の動力源の理論の本ですから
ウソ八百な訳ですが...何も知らない当時の
私には。心ときめくモノが散りばめられていて
見るダケでドキドキしました

つまらない話しで、失礼いたしました
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/3/7 3:14
CarotStamp 
like-mj さん
ハンドル名を間違えてしまい、大変申し訳ないです。
わざと「おちょっくった」わけではないので、その辺はご理解、ご容赦下さい。
本当に申し訳ありませんでした。。。
投票数:0 平均点:0.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/3/8 4:07
like-mj  一人前   投稿数: 767
何も問題ありません

ただ、心のトキメキがないものは
信用できないというダケです

物理にとって数学は
その裏側とも言える関係で結ばれている
ものと思いますが...
決定的な点は、数学の証明の論理的構築
に登場する代数関係や解析的関係や図形
といった構築要素からは...
物理法則の新たな関係における基本要素が
決して導かれない点にあると思います

それは、物理というものが既成の数学的関係の
延長上にはナイ関係というモノを自然の中から
見つけ出す事に他ならないからです

こうした事は、現在の最先端の超弦理論
なんかでも言える事と思います
あくまで物理にとって重要なのは
現象の中にしかないと思います

それでも、現時点までに数学が切り開いた世界は
数や代数関係、解析的関係、幾何学的関係の
すべてにまたがる体系であって
その表現力というものは決してあなどる事が
できません

それでも尚、そこには不足していて
なかなか人には気づくのが困難な関係という
モノがあって、そういうのをwittenさんや
大栗さん、立川さんなんかは提示し続けて
いるんダト思います
そういう素粒子や宇宙関係以外の分野でも
まるで手掛かりさえ見当も付かないような
未知の数学的関係を必要としている分野が
物理には沢山あると思います

その1つが、多体問題であったり
相転移を分子論の基礎の上に解析的に
解ける形で定式化する問題なんかも
そのような気がします
Ising modelのように厳密に解ける
一般の系での定式化問題ですね

あきらめちゃってるimageがありますね
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/3/9 9:46
like-mj  一人前   投稿数: 767
ラゲール陪多項式の直交性を検算する前に

なぜ、量子力学の系では
力学を記述する量が線形変換になってしまうのに
力学を記述する量の間に成立した関係性は
その新しい要素の間に引き継がれるのか
とか
つまり、運動量と全energyや、時間との間に
成立した関係が、運動方程式構築のframeに
そのまま生かせるのか

尤も、Newton形式じゃーダメで
等価なHamilton-Jacobi形式という
力学を光のような波を記述するような
拡張された形式が存在した事自体
驚くべき点ですが...

その形式の非線形性が
新しい量の間の関係では、線形になるというのも
驚きです
まるで非線形な関係が、線形になるように
線形変換が登場したかのようです

非線形な記述というのは
自分自身が自分を規定する関係な訳で
自由な運動の記述にとっては
自分以外の存在との関係性が重要です

場の量子論なんかは
存在としての場自体の深い階層に渡る
作用が問題になる点で、非線形ではないに
しても、似た側面をもっていると思います

弱い相互作用のYang-Mills場なんかは
instantonというsoliton解があるくらいで
非線形なんでしょうが
最近のほとんどは、超弦理論にしても
弦という1次元要素で考えるから
非線形というモノへのapproach自体の
戦略に、様々な多項式で出来た曲線を
理解した上に、複素構造によって多様体化して
生まれたような代数幾何学の構造が
指針を与えるようなモノにもなっている訳で..

非線形の理解という意味では
自分自身がもっている絡み具合が
より単純な要素に還元されつつあると
理解できなくもないかも知れませんが...

こうした絡み合いを表現する
K3曲面の一種、Calabi-Yau空間の自由度が
Quarkの世代構造を表現しているという驚き
を、大栗さんなんかは、そういう世界に
足を引き込まれる決定的点にしているらしい
って事で...

こういうstory性ダケで、ほぼ満足してしまう
私の方が変なのでしょうか
もっと、マジメにやるとなると
朝永さんの論文を読んだり
その前にある、pauliの時空の因果律を
場の相互作用と関係させる形式を完成させた
論文なんかをしっかり読まなければなりませんが...


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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 | 投稿日時 2014/3/12 19:32
CarotStamp 
like-mjさんには、大変申し訳ありませんが、like-mjさんでもどなたでもよいので、最初の私の疑問にお答えいただけませんか?
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/3/13 4:33
like-mj  一人前   投稿数: 767
Laguerre陪多項式が一般的な分類で
合流型超幾何関数と呼ばれるモノであるのは
ご存じの事と思いますが...

そのような超幾何関数というモノを理解する
という意味であるなら
そこには、1つのmotivationが成立すると
思います

ただ単に、Laguerre陪多項式という
個別的な対象のある計算部分が理解できないと
おっしゃられても、ソレが解決した後...
これも、コレモと散発的に続くのは
目に見えております

そういう個々バラバラな疑問を解決したダケ
では、全体の数学的意味など見えなくなって
しまいます
最初から、そういう意識で臨む必要性を
感じます

ですから、昔から
量子力学と特殊関数論はセット販売のような
そういうモノだったんではナイカと...
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/3/17 18:56
Hero  半人前   投稿数: 41
http://ameblo.jp/metazatunen/entry-11165846104.html

あたりは参考になりませんか?
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/3/17 20:17
like-mj  一人前   投稿数: 767
CarotStampさんの疑問に答えているモノか
は、確認しておりませんが...

Heroさんの紹介されたトコ
計算を実に丁寧かつ、文字表現もキレイに
やられていて好印象です

やはり、数式は
TeXとか、pdfの流れを汲んだモノが
キレイですね

確か、ここでも
前に kafuka氏が置き土産していったモノが
あったと記憶します
そういうcommandのような感じで
キレイに埋め込まれる文字表現は
使った方がいいと、今気づきました
投票数:0 平均点:0.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/3/20 17:43
CarotStamp 
教えられた、HPを頼りに、
自分で以下の様に考えてみました。

Σ:n=0→∞:(t^(n-k) s^(n-k))/(n!)^2 ∫:0→∞:|L[k,n](x)|^2 x^k exp(-x) dx
= k! Σ:r=0→k+1:((k+1)!/(k+1-r))t^r s^r
この式が恒等的に成り立つためには

左辺=Σ:n=0→∞:(t^(n-k) s^(n-k))/(n!)^2 ∫:0→∞:|L[k,n](x)|^2 x^k exp(-x) dx
=a1(ts)^1 + a2(ts)^2 + a3(ts)^3 + ・・・・
右辺= k! Σ:r=0→k+1:((k+1)!/(k+1-r))t^r s^r
=b1(ts)^1 + b2(ts)^2 + b3(ts)^3 +・・・・
である必要があり、
そのためには、r=n-k 、n=k+1。

式2の両辺に (n!)^2 をかけ、(ts)^(n-k) の項を比較すると、式3が得られる。
Σ:n=0→∞:(t^(n-k) s^(n-k))/(n!)^2 ∫:0→∞:|L[k,n](x)|^2 x^k exp(-x) dx
= Σ:n-k=0→n:(n!/(n-k)!) t^(n-k) s^(n-k) 式2
∫:0→∞:|L[k,n](x)|^2 x^k exp(-x) dx = ((n!)^3/ (n-k)!) 式3
 
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/3/21 7:02
like-mj  一人前   投稿数: 767
CarotStampさんの問いに
答えてくれるサイトなど、いくらでもあると
思いますし、ココでだって一緒に考える事など
ごくありふれた光景です

しつこい様ですが...
もし、CarotStampさんが
神から、今この瞬間に如何なる計算であっても
スグに出来てしまう能力を与えられたなら
一体、あなたはソノ能力をどう使いますか
にお答え頂けない限り、提示された問いに
立ち向かう気力が生まれません
投票数:0 平均点:0.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/3/21 18:45
CarotStamp 
like-mjさんへ

>>もし、CarotStampさんが
>>神から、今この瞬間に如何なる計算であっても
>>スグに出来てしまう能力を与えられたなら
>>一体、あなたはソノ能力をどう使いますか

そんな能力は、私は欲しいとは思いません。

勉強していて疑問点が出てきて、(それが、正解かどうかは別にして)今回の様にアドバイスを基に自分なりに解決できたり、他人にご教示していただき理解出来たときの充足感が、至福の時です。
そしてその至福の時が、自分を勉強に駆り立てるドライビングフォースです。
投票数:0 平均点:0.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/3/22 13:32
like-mj  一人前   投稿数: 767
村上雅人さんの本という事ですが...
彼は、現在芝浦工大の学長をされておりますね
http://www.shibaura-it.ac.jp/about/president_message.html
でも本職は、超伝導で
東大の金属材料工学から新日鐵という経歴をお持ちで
製鉄というのは、量子力学の工学的母体ですからね
最近流行りの、光学系企業系列経歴の清水明氏の本など
よりは、私の好みにも近く
ヘタな公理的体系という意識が無い分
謎解きを現実の中で着実に行う感覚では優位と思います
http://moniko.s26.xrea.com/

村上さんのサイトでは
やさしい超伝導のはなし
バルク超電導磁石の誕生
という2つのシリーズ話しがpdfで置いてありました

物理と数学の深い関係が最近の流行ですが
物理と工学の深い関係こそ重要なんですね
超伝導なんかは、そういうモノになり得るモノなんだと
思います
現在でもいろんなトコで頻繁に使われている
あのLandau-Ginzburg理論の直観的背景が
相平衡の意味考え続け、同時に波動関数の
扱いをいろんな意味で考え続けたLandauだからコソ
ミクロなとてもスグには計算できない
相互作用の本質をマクロな制御変数を含む
作用に込める事ができたんだと思います

こういう理論もソウですが
出来たモノを見れば成程、その確かな表現力によって
現象の本質を的確に捉えているのですが...
ソレが生み出される前に、それを作れと言われたって
そんなモノ、そう簡単に誰でも作れるモノなら
苦労はない訳です

まずもって、そういう理論が作れるなんて思える点が
一般人からすれば、そういう確信がもてる事自体が
あり得ない深淵さであって、不思議極まりない訳です
そういう、まだ目の前に存在しない理論の存在というモノ
を確実に感じ取ることコソ物理の醍醐味であって
その能力は、発明家がこの世に存在しない
信じ難く便利で役立つモノを現実化してしまう感性にコソ
同じ感覚を見出すのであって
数学のような、論理的に分かり切った展開を着実に
積み重ねた上に構築されるモノとは一線を画するモノと思います

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/3/23 9:10
like-mj  一人前   投稿数: 767
量子力学の本には
それは多くの歴史的名著や入門書があります
私が最初に取った本は
小出昭一郎さんの量子論で
その本で、初めて平面波の方程式というものを
学びました
その本をマジメに最後までは読んではおりませんが
平面波に出会えたダケで充分、読んだ意味があったと
思います
私の考えでは、ある本から学べる事など
1つあれば凄い事なんだと思います
だって、1つも印象に残らないなんてヨクある事
ですからね

そういう意味で、朝永さんの量子力学で
一番鮮烈な印象を受けたのは、何と付録の
統計力学の相空間上での扱いでした

ああいう形で、数学的にキレイな感じで
書かれてあるモノは他には見た事がなかったからです
ソコに出て来る、超曲面上で積分するタメの面積要素の
形は、あの有名な超多時間理論の論文にも出て来ますし
元々は、Pauliの論文に、その原型があると思います
使える形なんですね

でも、ソレが数学的に難しいモノであるかと言えば
出て来るのは三角関数や指数関数であって
δ関数の性質を最大限に活用するような考えなんですね
それを利用して、相対論の要請である因果関係を
式に書き下す事な訳です

村上さんのご専門の固体物性では
有名なBloch関数というモノが登場しますが
ソレだって基本的なモノは三角関数を使ったモノです

世の中には、至るところで微分不可能な連続関数だって
簡単に作れる訳で...

うっかりスルと、そういう数学の深淵に引き摺り込まれ
底なし沼のようなモノに意識は遠のいてしまいソウに
なります

おそらく、物理で重要なのは
方程式を見つける事と、その単純な解を構成し
内容を明確な概念の下に分かる事なんだと思います
そうした橋頭保は、アチコチにあります
それらをツナグのは、数式ではありません
考え1つなんだと思います

それでも、水素原子の問題を
厳密に解くタメの数学が
超幾何関数という主題で、1世紀以上前の
Gaussの時代から調べられてたというのには
驚きでもありますが
現在も、同テーマは完結しておらず
日本では有名な、青本和彦さんの
超幾何関数論 (springer japan)があります

複素関数の本質が、リーマン面という
曲面のトポロジーにある事が分かったのは
20世紀数学の偉大な橋頭保と思いますが
数学の世界だって、肝心なトコは
1つの考えがとても重要な点で物理の本質と
共通しているし
生物だって、何だってソウなのでしょう

投票数:0 平均点:0.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/3/23 9:28
like-mj  一人前   投稿数: 767
つまり、言いたい事は...

村上さんの意図は知りませんが
現時点で、数学的にも完結していないような
つまり、その内容が意味する数学的広さが
確定していないようなモノを計算するよりは

もっとやるべき事などいくらでもアル
という事です

もっとも超幾何関数に興味がおありなら
それもまた結構なことなんだとは思いますが..

或いは、そうした超幾何関数の世界が
いろんな他の重要なトコとつながっている
事だって充分あり得る話しですし...

EulerやGaussなどが考えた主題というのは
何百年もかけて実る事を念頭に入れている
ほどの凄いモノが数多くある訳ですからね
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