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ラゲール陪多項式の直交性

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CarotStamp

なし ラゲール陪多項式の直交性

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 .3 .4 .5 .6 | 投稿日時 2014/3/4 4:03
CarotStamp  新米   投稿数: 1
ご無沙汰しています。CarotStampです。

村上雅人著『なるほど量子力学II』を勉強していて解らないことがあったので、質問させて下さい。

ラゲール陪多項式L[k,n]に関する直交性
∫:0→∞:L[k,n](x) L[k,m] x^k exp(-x) dx = ((n!)^3/ (n-k)!) δn,m
のn=mのとき(n!)^3/ (n-k)!の導出に関して

テキストによると、

Σ:n=0→∞:(t^(n-k) s^(n-k))/(n!)^2 ∫:0→∞:|L[k,n](x)|^2 x^k exp(-x) dx
= k! Σ:r=0→k+1:((k+1)!/(k+1-r))t^r s^r
この式が恒等的に成り立つためには
(1)r=n-k
(2)k+1=n
でなければならない。よって右辺は
k! Σ:r=0→k+1:((k+1)!/(k+1-r))t^r s^r = k! Σ:n-k=0→n:(n!/(n-k)!k!) t^(n-k) s^(n-k)
= Σ:n-k=0→n:(n!/(n-k)!) t^(n-k) s^(n-k) 式1
Σ:n=0→∞:(t^(n-k) s^(n-k))/(n!)^2 ∫:0→∞:|L[k,n](x)|^2 x^k exp(-x) dx
= Σ:n-k=0→n:(n!/(n-k)!) t^(n-k) s^(n-k) 式2
となり
∫:0→∞:|L[k,n](x)|^2 x^k exp(-x) dx = ((n!)^3/ (n-k)!) 式3
と与えられる

とありますが、
「(2)k+1=n」 となる導出 と
「式2 から 式3」の導出 の2点が解りませんので教えて下さい。 
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