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(250) 平衡点回りの振動
bi-cmos
2005年11月23日(水) 17時01分

閉じた線状に並んだ振動子が隣接振動子間の相互作用を持ち,さらに各振動子がその平衡点の回りに束縛されている場合,その系のハミルトニアンは
H=(1/2)Σ[pn^2+Ω[qn-qn+1]^2+Ω0^2qn^2 (1)
で与えられる,となっているのですが,Ω0^2qn^2の項がどうしても導出できません。
通常,ポテンシャルをUとすると平衡点の回りでTaylor展開して高次の項は無視するというのが一般的ですが,そうするとΩ0^2qn^2→Ω0^2qnqn+1
というようなクロス項がでてくると思うのですが,どうすれば(1)が導出できるのでしょうか。



(251)  (Re:250)
Re:平衡点回りの振動
甘泉法師
2005年11月23日(水) 21時15分

>H=(1/2)Σ[pn^2+Ω[qn-qn+1]^2+Ω0^2qn^2]    (1)

         赤のばね 青のばね

ですね。



(252)  (Re:251)
Re:平衡点回りの振動
bi-cmos
2005年11月23日(水) 22時54分

>>H=(1/2)Σ[pn^2+Ω[qn-qn+1]^2+Ω0^2qn^2]    (1)
>
>         赤のばね 青のばね
>
>ですね。
う〜ん,絵に描くとわかりやすいですが,青のばね定数Ω0は,平衡点回りに束縛されているから,慣性エネルギーみたいなものですかね。通常のテキストではこのような項は書かれてないですが,どうなっているのでしょうね。



(257)  (Re:252)
Re2: 平衡点回りの振動
甘泉法師
2005年11月26日(土) 09時55分

bi-cmosさん、こんにちは。

>閉じた線状に並んだ振動子が隣接振動子間の相互作用を持ち,さらに各振動子がその平衡点の回りに束縛され>ている場合,

これを図にしました。

>その系のハミルトニアンは
>H=(1/2)Σ[pn^2+Ω[qn-qn+1]^2+Ω0^2qn^2 (1)
>で与えられる,となっている

そうなりますね。

>のですが,Ω0^2qn^2の項がどうしても導出できません。

問題を式にあらわしたまでで、導出するものではありません。 

bi-mos さんは、

>閉じた線状に並んだ振動子が隣接振動子間の相互作用を持ち,さらに各振動子がその平衡点の回りに束縛され
>ている場合,

をなぜ考えねばならないか、自分の思う設定とは違う、と感じているのではないでしょうか。

考えている対象は何か(どんな素粒子、どんな凝集系、数学、それとも...)、どのテキストにあるかわかればいっしょに考えられそうです。






通常,ポテンシャルをUとすると平衡点の回りでTaylor展開して高次の項は無視するというのが一般的ですが,そうするとΩ0^2qn^2→Ω0^2qnqn+1
というようなクロス項がでてくると思うのですが,どうすれば(1)が導出できるのでしょうか。


><span class="reply-text">>>H=(1/2)Σ[pn^2+Ω[qn-qn+1]^2+Ω0^2qn^2]    (1)
>>
>>         赤のばね 青のばね
>>
>>ですね。
></span>う〜ん,絵に描くとわかりやすいですが,青のばね定数Ω0は,平衡点回りに束縛されているから,慣性エネルギーみたいなものですかね。通常のテキストではこのような項は書かれてないですが,どうなっているのでしょうね。

-- CMN v0.50β --



(258)  (Re:257)
Re: 平衡点回りの振動
bi-cmos
2005年11月26日(土) 10時36分

甘泉法師さん、こんにちは。

>bi-cmosさん、こんにちは。
>
>>閉じた線状に並んだ振動子が隣接振動子間の相互作用を持ち,さらに各振動子がその平衡点の回りに束縛され>ている場合,
>
>問題を式にあらわしたまでで、導出するものではありません。 

納得しました(笑い)。

この辺りの事情は#257にも少し書きましたのでそちらも参照していただければと思います。

>考えている対象は何か(どんな素粒子、どんな凝集系、数学、それとも...)、どのテキストにあるかわかればいっしょに考えられそうです。

ありがとうございます。テキストはかなり古いですがE.M Henley & W.Thirring 野上幸久(訳)初等場の量子論です。中間子なんかがこのHamltonianで記述され得るというようなことも書かれていました。



(259)  (Re:258)
Re: 平衡点回りの振動
bi-cmos
2005年11月26日(土) 21時01分


>この辺りの事情は#257にも少し書きましたのでそちらも参

失礼,#257→#256の誤りです。



(260)  (Re:258)
Re: 平衡点回りの振動
TOSHI
2005年11月27日(日) 02時41分

  こんばんは。。。TOSHIです。

>ありがとうございます。テキストはかなり古いですがE.M Henley & W.Thirring 野上幸久(訳)初等場の量子論です。中間子なんかがこのHamltonianで記述され得るというようなことも書かれていました。

  ヘンリー・ティリングなら、私も持っているので先ほど読んでみました。どうも単にエネルギーの関係E^2=p^2+m^2(c=1)のアナロジーのようですね。

 弾性体の弾性係数なら、弾性波の位相速度に比例するので光速の2乗c^2でいいでしょうね。

 一般に弾性波には質量に依存する項はないので、ヘルムホルツ項である質量項が入るのは電磁波でいえば相互作用がクーロン型でなく湯川型の場合ということになるのですが、

 電磁波でなく本質的に縦波である弾性波でいうなら、弾性体の各点において、隣接要素による引っ張り合いのほかに、その位置を移動したくないという束縛抵抗がある場合ですね。

 この動きにくさは弾性体要素の質量が大きいほど大きいので、これが慣性抵抗、つまり慣性質量による抵抗の類似(アナロジー)とみているのでしょう。

 もっとも、質量による抵抗といっても左辺の加速度にも質量がかかっているので単純ではありません。これを考えすぎるときりがないので、単にパラメータと考えるにとどめておきたいです。

 そもそもクラインゴルドンはE^2−p^2=m^2を演算子としたときに座標表示=シュレーデインガー表示でE=i(∂/∂t)、p=−i∇、を代入したものにすぎないわけです。

 これを波動方程式としたときに離散差分表示あるいは連続体としての弾性体を離散振動子とすれば先の方程式になるわけで、ヘンリー・ティリングとしては導入部としてはこのほうがわかりやすいとしてこのモデルを採用したのだとおもうのでこだわらず先に進んでください。

                                 TOSHI



(261)  (Re:260)
Re: 平衡点回りの振動
bi-cmos
2005年11月27日(日) 17時41分

こんにちは,TOSHIさん。bi-cmosです。レスありがとうございました。

> 電磁波でなく本質的に縦波である弾性波でいうなら、弾性体の各点において、隣接要素による引っ張り合いのほかに、その位置を移動したくないという束縛抵抗がある場合ですね。

物理的イメージとしてはそうなりますね。ただ,その束縛抵抗のもとは一体なんだ,ということに拘ったりして。。。

> この動きにくさは弾性体要素の質量が大きいほど大きいので、これが慣性抵抗、つまり慣性質量による抵抗の類似(アナロジー)とみているのでしょう。

後で中間子の話が出てきますので,この慣性抵抗は核力に関係するものなのか?と勝手に想像力をたくましくしたりしています。

> もっとも、質量による抵抗といっても左辺の加速度にも質量がかかっているので単純ではありません。これを考えすぎるときりがないので、単にパラメータと考えるにとどめておきたいです。

しかし,結局,もう少しテキストを読み進めてから改めて考え直したいと思います。ありがとうございました。

(P.S)
#全然関係ない話ですがTOSHIさんは東北大の物理サークルHoyapにおられたかですか?そうでなければすみません。



(263)  (Re:261)
Re2: 平衡点回りの振動
甘泉法師
2005年11月28日(月) 00時12分

bi-cmosさん、Toshiさん こんにちは。
もう解決したようですが、蛇足コメントです。

>物理的イメージとしてはそうなりますね。ただ,その束縛抵抗のもとは一体なんだ,ということに拘ったりして。。。

変位qを波動関数φによみかえれば m|φ|^2 は質量の期待値ですからハミルトニアンにカウントするのは当然になります。ハミルトニアンはこの項と波動関数の時空のグラジエントの2乗の和になるわけです。



(268)  (Re:263)
Re: 平衡点回りの振動
bi-cmos
2005年11月28日(月) 19時46分

>bi-cmosさん、Toshiさん こんにちは。
>もう解決したようですが、蛇足コメントです。
>
>>物理的イメージとしてはそうなりますね。ただ,その束縛抵抗のもとは一体なんだ,ということに拘ったりして。。。
>
>変位qを波動関数φによみかえれば m|φ|^2 は質量の期待値ですからハミルトニアンにカウントするのは当然になります。ハミルトニアンはこの項と波動関数の時空のグラジエントの2乗の和になるわけです。

甘泉法師さん、コメントありがとうございました。
c=1とすると質量の期待値m|φ|^2×c^2でエネルギーになりますからハミルトニアンに入るのはいいのですが、この項の物理的意味がよくつかめないという意味での質問でした。言葉足らずですみませんでした。平衡位置に戻そうとする束縛力の”起源”にこだわるとTOSHIさんも言われているようにキリがなさそうなので、今は不問に付す(笑い)ということで納得しておきます。



(264)  (Re:261)
Re: 平衡点回りの振動
TOSHI
2005年11月28日(月) 00時54分

 こんばんは。。。TOSHIです。

>(P.S)
>#全然関係ない話ですがTOSHIさんは東北大の物理サークルHoyapにおられたかですか?そうでなければすみません。

 私、東北大ではなく関西方面です。来年2月で56歳になるおじさんです。以後もよろしく。。。

                    TOSHI



(267)  (Re:264)
Re: 平衡点回りの振動
bi-cmos
2005年11月28日(月) 19時24分

こんばんは、bi-cmosです。

>>(P.S)
>>#全然関係ない話ですがTOSHIさんは東北大の物理サークルHoyapにおられたかですか?そうでなければすみません。
>
> 私、東北大ではなく関西方面です。来年2月で56歳になるおじさんです。以後もよろしく。。。

そうなんですか、失礼しました。ところで私もTOSHIさんと同年代です!一介のサラリーマンですが、物理は趣味の範囲で勉強しています。最近ふとしたきっかけでH.Tを読み始めました。できるだけ計算にこだわった読み方をしようと奮闘していますが、これがなかなか。。。これからもこのフォーラムのお世話になると思いますので、よろしくお願いします。



(270)  (Re:267)
Re: 平衡点回りの振動
TOSHI
2005年11月28日(月) 20時32分

 こんんは。。。。TOSHIです。

>こんばんは、bi-cmosです。
>
>>>(P.S)
>>>#全然関係ない話ですがTOSHIさんは東北大の物理サークルHoyapにおられたかですか?そうでなければすみません。
>>
>> 私、東北大ではなく関西方面です。来年2月で56歳になるおじさんです。以後もよろしく。。。
>
>そうなんですか、失礼しました。ところで私もTOSHIさんと同年代です!一介のサラリーマンですが、物理は趣味の範囲で勉強しています。最近ふとしたきっかけでH.Tを読み始めました。できるだけ計算にこだわった読み方をしようと奮闘していますが、これがなかなか。。。これからもこのフォーラムのお世話になると思いますので、よろしくお願いします。
>

  ほう、同年代ですか。。私も単なる技術系(流体関係)のサラリーマンにすぎません。ただ、30年ほど前の学生時代の専門が素粒子論(QED)であったというだけで、趣味であきもせず続けています。

 10年ほど前にも、niftyのパソコン通信時代に「双子のパラドクス」関係の議論の中で、二間瀬敏史(ふたませとしふみ)氏ではないか、と言われたことがあり、神戸大の松田先生から、本人が迷惑していると言われましたが、私に責任はないので失礼な話です。私はそんなにたいした者ではないです。

 とにかく、以後もよろしく。。。。

                                 TOSHI



(262)  (Re:260)
Re: 平衡点回りの振動
bi-cmos
2005年11月27日(日) 21時42分

こんばんわTOSHIさん。bi-cmosです。

>  ヘンリー・ティリングなら、私も持っているので先ほど読んでみました。

H.Tを持っておられるということなので次の質問をしたいのですが。
第3章の3.1で
 E0=(1/2)Σωs,ωs^2=Ω^2(2sin(s/2))^2+Ω0^2
   (s=2πl/N, -N/2≦l≦N/2)
が導かれ,第3章の3.2で,ゼロ点エネルギーの範囲が
 NΩ0/2から(N/2)(Ω^2+Ω0^2)^(1/2)の間に分布・・・
と書かれていますが,分布の後半の範囲は
 (N/2){(2Ω)^2+Ω0^2}^(1/2)
となるのではないでしょうか。



(265)  (Re:262)
Re: 平衡点回りの振動
TOSHI
2005年11月28日(月) 06時07分

 こんにちは・。。。bi-cmosさん。。。

>H.Tを持っておられるということなので次の質問をしたいのですが。
>第3章の3.1で
> E0=(1/2)Σωs,ωs^2=Ω^2(2sin(s/2))^2+Ω0^2
>   (s=2πl/N, -N/2≦l≦N/2)
>が導かれ,第3章の3.2で,ゼロ点エネルギーの範囲が
> NΩ0/2から(N/2)(Ω^2+Ω0^2)^(1/2)の間に分布・・・
>と書かれていますが,分布の後半の範囲は
> (N/2){(2Ω)^2+Ω0^2}^(1/2)
>となるのではないでしょうか。

 おっしゃるとおりですね。。単純な計算ミスと思われます。

                                  TOSHI



(266)  (Re:265)
Re: 平衡点回りの振動
bi-cmos
2005年11月28日(月) 19時10分

TOSHIさん、こんばんわ、bi-cmosです。

> おっしゃるとおりですね。。単純な計算ミスと思われます。

ありがとうございました。すっきりしました。



(253)  (Re:250)
Re:平衡点回りの振動
TOSHI
2005年11月25日(金) 01時29分

 こんばんは。。TOSHIと申します。

>閉じた線状に並んだ振動子が隣接振動子間の相互作用を持ち,さらに各振動子がその平衡点の回りに束縛されている場合,その系のハミルトニアンは
>H=(1/2)Σ[pn^2+Ω[qn-qn+1]^2+Ω0^2qn^2 (1)
>で与えられる,となっているのですが,Ω0^2qn^2の項がどうしても導出できません。
>通常,ポテンシャルをUとすると平衡点の回りでTaylor展開して高次の項は無視するというのが一般的ですが,そうするとΩ0^2qn^2→Ω0^2qnqn+1
>というようなクロス項がでてくると思うのですが,どうすれば(1)が導出できるのでしょうか。

  いまいち状況が不明なのですが。。。

 ばね定数Ωのほうは自分と隣接の振動子ひずみの差に対する相互作用エネルギーで、Ω0のほうは平衡点に対するひずみqnの束縛エネルギーではないでしょうか?あとの項には係数1/2はついてないのですか?

                                  TOSHI



(254)  (Re:253)
Re:平衡点回りの振動
TOSHI
2005年11月25日(金) 01時31分

ps:失礼、1/2もΣも全部の項にかかっているのですね。。
                                   TOSHI



(255)  (Re:253)
Re:平衡点回りの振動
TOSHI
2005年11月25日(金) 01時37分

 ps2:通常の振動子は隣接するものと相互作用するだけで両端は束縛というか固定されているけど、各々が平衡点の周りに束縛されてはいないので、最後の項はありません。ただし、閉じたものであれば、両端でなく1点が固定されます。どこも固定していないと勝手にまわってしまいますからね。

                                    TOSHI



(256)  (Re:253)
Re:平衡点回りの振動
bi-cmos
2005年11月25日(金) 20時46分

甘泉法師さん、TOSHIさん、こんばんは。bi-cmosです。レス、ありがとうございます

>>H=(1/2)Σ[pn^2+Ω[qn-qn+1]^2+Ω0^2qn^2 (1)

> ばね定数Ωのほうは自分と隣接の振動子ひずみの差に対する相互作用エネルギーで、Ω0のほうは平衡点に対するひずみqnの束縛エネルギーではないでしょうか?

qnの束縛エネルギーと解釈すればいいのですね。ただ、そのような束縛エネルギーの元は何か、というところがいまいちよく分かりません。ハミルトニアン(1)から
 qn"=Ω^2(qn+1 + qn-1 −2qn)−Ω0^2qn
が得られますが、これを連続体近似すると
 q(x)"-Ω^2(∂^2/∂x^2)+Ω0^2q(x)^2=0
となりますね。3次元に拡張し、場をq(x)の代わりにΦ(r,t)とすると
 (∂^2/∂t^2-Ω^2∇^2+Ω0^2)Φ(r,t)=0 
となって、Ω=c(光速)=1とし、Ω0を質量mに焼き直すとクライン・ゴードン方程式となります。質量mはボソンの質量で、束縛エネルギーは結局質量に関係するエネルギーか?ということを目下悩んでいるところです。分かりにくい説明かも知れませんが、なにかアドバイスがあればよろしくお願いします。





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